2026考研数学二 各章节知识点大全

基于2026最新考试大纲整理（2025年10月发布），涵盖高等数学 + 线性代数全部考点

试卷结构：满分150分 | 考试180分钟 | 高等数学≈78%(117分) | 线性代数≈22%(33分)
题型分布：单选8题(32分) + 填空6题(24分) + 解答9题(94分)

第一部分：高等数学（约78%）

第一章 函数、极限、连续

考试要求

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法
2. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性
3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及极限存在与左、右极限的关系
6. 掌握极限的性质及四则运算法则
7. 掌握极限存在的两个准则，会用两个重要极限求极限
8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小的比较方法
9. 理解函数连续性的概念，会判断间断点的类型
10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）

核心知识点

• 极限计算：四则运算法则、两个重要极限（lim sinx/x=1, lim(1+1/x)^x=e）
• 无穷小比较：高阶、低阶、同阶、等价无穷小
• 等价无穷小替换：x\~sinx\~tanx\~arcsinx\~arctanx\~ln(1+x)\~e^x-1，1-cosx\~x²/2，(1+x)^α-1\~αx
• 间断点分类：第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷、振荡）
• 闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理、零点定理

常见题型

1. 极限计算（等价无穷小替换、洛必达法则结合）
2. 已知极限反求参数
3. 间断点判断与分类
4. 零点定理证明方程有根

第二章 一元函数微分学

考试要求

1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则
3. 掌握基本初等函数的导数公式
4. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数
5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
6. 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理
7. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法
8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断单调性和求极值的方法
9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点
10. 会求解最大值和最小值的应用问题

核心知识点

• 求导法则：四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、对数求导法
• 中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
• 洛必达法则：0/0、∞/∞型未定式
• 单调性与极值：f'(x)>0单调增，f'(x)=0且f''(x)≠0为极值点
• 凹凸性与拐点：f''(x)>0凹，f''(x)<0凸，f''(x)=0且两侧异号为拐点
• 曲率：曲率公式 K=|y''|/(1+y'²)^(3/2)

常见题型

1. 导数的定义与计算
2. 中值定理的证明题（构造辅助函数）
3. 洛必达法则求极限
4. 函数单调性、极值、凹凸性分析
5. 应用题：最优化问题

第三章 一元函数积分学

考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念
2. 掌握不定积分的基本公式和换元积分法与分部积分法
3. 掌握定积分的性质及定积分中值定理
4. 理解积分上限的函数，会求它的导数
5. 掌握牛顿-莱布尼茨公式
6. 掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积
7. 了解反常积分的概念，会计算反常积分

核心知识点

• 不定积分：基本积分公式、第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（三角代换、根式代换）、分部积分法
• 定积分：牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法
• 变上限积分：F(x)=∫ₐˣ f(t)dt，F'(x)=f(x)
• 反常积分：无穷限反常积分、无界函数的反常积分、敛散性判断
• 应用：面积（∫|f(x)-g(x)|dx）、体积（旋转体V=π∫f²(x)dx）

常见题型

1. 不定积分计算（换元+分部结合）
2. 变上限积分求导
3. 定积分计算与证明
4. 反常积分敛散性判断
5. 面积与体积计算

第四章 多元函数微分学

考试要求

1. 了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义
2. 了解偏导数的概念，掌握偏导数的求法
3. 了解全微分的概念，会求全微分
4. 了解多元函数极值的概念，会求多元函数的极值
5. 了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值

核心知识点

• 偏导数计算：对一个变量求导，其余变量视为常数
• 全微分：dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy
• 复合函数求导：链式法则（树形图法）
• 隐函数求导：F(x,y,z)=0，∂z/∂x=-F_x/F_z
• 极值：f_x=0, f_y=0 求驻点，AC-B²判断极值
• 条件极值：拉格朗日乘数法 L=f(x,y)+λφ(x,y)

常见题型

1. 偏导数与全微分计算
2. 复合函数/隐函数求导
3. 无条件极值（AC-B²判别法）
4. 条件极值（拉格朗日乘数法）

第五章 二重积分

考试要求

1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质
2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

核心知识点

• 直角坐标计算：

• X型区域：∬f(x,y)dσ=∫ₐᵇdx∫_φ₁(x)^φ₂(x) f(x,y)dy

• Y型区域：∬f(x,y)dσ=∫_cᵈdy∫_ψ₁(y)^ψ₂(y) f(x,y)dx
• 极坐标计算：∬f(x,y)dσ=∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
• 对称性：奇偶对称、轮换对称
• 应用：求曲顶柱体体积

常见题型

1. 直角坐标下交换积分次序
2. 极坐标下的二重积分（圆域、环形区域）
3. 利用对称性简化计算
4. 二重积分的应用

第六章 常微分方程

考试要求

1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
2. 掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法
3. 掌握一阶线性微分方程的解法
4. 会用降阶法解下列方程：y^(n)=f(x)、y''=f(x,y')、y''=f(y,y')
5. 理解二阶线性微分方程解的结构
6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法
7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程

核心知识点

• 一阶方程：

• 可分离变量：dy/dx=g(x)h(y)

• 齐次：dy/dx=f(y/x)，令u=y/x
• 一阶线性：y'+P(x)y=Q(x)，通解公式

• 可降阶的高阶方程：

• y^(n)=f(x)：直接积分

• y''=f(x,y')：令p=y'
• y''=f(y,y')：令p=y'，y''=p·dp/dy

• 二阶常系数线性齐次：r²+pr+q=0

• r₁≠r₂：y=C₁e^r₁x+C₂e^r₂x

• r₁=r₂：y=(C₁+C₂x)e^rx
• r=α±iβ：y=e^αx(C₁cosβx+C₂sinβx)
• 二阶常系数线性非齐次：特解设定方法（待定系数法）

常见题型

1. 一阶微分方程求解
2. 可降阶的高阶方程
3. 二阶常系数线性方程求解
4. 微分方程的应用题

第二部分：线性代数（约22%）

第七章 行列式

考试要求

1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质
2. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式

核心知识点

• 行列式性质：转置值不变、两行互换变号、某行乘k值乘k、两行成比例值为0
• 展开定理：D=ΣaᵢⱼAᵢⱼ，Aᵢⱼ=(-1)^(i+j)Mᵢⱼ

• 特殊行列式：

• 上/下三角行列式：对角线乘积

• 范德蒙德行列式
• 分块三角行列式

常见题型

1. 利用性质化三角求值
2. 按行/列展开
3. 递推法求n阶行列式
4. 范德蒙德行列式的应用

第八章 矩阵

考试要求

1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵的概念
2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置
3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件
4. 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵
5. 了解矩阵的秩的概念
6. 了解初等变换和初等矩阵的概念

核心知识点

• 矩阵运算：加法、数乘、乘法（不满足交换律）、转置
• 逆矩阵：A⁻¹=A*/|A|，可逆⇔|A|≠0⇔R(A)=n
• 伴随矩阵：A*=(Aᵢⱼ)ᵀ，Aᵢⱼ=(-1)^(i+j)Mᵢⱼ
• 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数
• 初等变换：行变换、列变换，不改变秩

常见题型

1. 矩阵乘法与运算
2. 逆矩阵的计算
3. 伴随矩阵的性质
4. 矩阵秩的判断
5. 矩阵方程求解

第九章 向量

考试要求

1. 理解向量的概念，掌握向量的线性运算
2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念
3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念
4. 了解向量组等价的概念
5. 了解基变换和坐标变换公式

核心知识点

• 线性相关/无关：α₁,α₂,...,αₙ线性相关⇔存在不全为零的k使Σkᵢαᵢ=0

• 判定方法：

• 向量个数>维数⇒线性相关

• 行列式=0⇒线性相关
• 秩<向量个数⇒线性相关
• 极大无关组：线性无关且可表示所有向量
• 向量组的秩：极大无关组中向量的个数
• 施密特正交化：β₁=α₁，β₂=α₂-(α₂,β₁)/(β₁,β₁)β₁

常见题型

1. 线性相关/无关的判定
2. 求极大无关组并表出其余向量
3. 向量组的秩的计算

第十章 线性方程组

考试要求

1. 会用克莱姆法则
2. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件
3. 理解非齐次线性方程组有解的充要条件
4. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念

核心知识点

• 克莱姆法则：|A|≠0时，xᵢ=|Aᵢ|/|A|

• 齐次方程组：Ax=0有非零解⇔R(A)<n

• 基础解系含n-R(A)个解向量

• 通解=基础解系的线性组合

• 非齐次方程组：Ax=b有解⇔R(A)=R(A|b)

• 通解=齐次通解+特解

• 解的结构：解空间、基础解系

常见题型

1. 解的存在性与唯一性判断
2. 求齐次方程组的基础解系
3. 求非齐次方程组的通解
4. 含参数的方程组讨论

第十一章 特征值与特征向量

考试要求

1. 理解特征值、特征向量的概念，掌握求法
2. 理解相似矩阵的概念及性质
3. 理解矩阵可对角化的充要条件
4. 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

核心知识点

• 特征值与特征向量：|λE-A|=0求λ，(λE-A)x=0求特征向量

• 性质：

• Σλᵢ=tr(A)，Πλᵢ=|A|

• 不同特征值对应的特征向量线性无关
• 相似对角化：A可对角化⇔A有n个线性无关的特征向量
• 实对称矩阵：特征值为实数、不同特征值对应的特征向量正交、必可正交相似对角化

常见题型

1. 特征值与特征向量的计算
2. 矩阵可对角化的判定
3. 利用特征值求矩阵的行列式、秩
4. 实对称矩阵的正交对角化

第十二章 二次型

考试要求

1. 掌握二次型的矩阵表示
2. 了解用正交变换化二次型为标准形的方法
3. 了解二次型的秩和惯性定理
4. 理解正定二次型和正定矩阵的概念及判别法

核心知识点

• 二次型：f(x)=xᵀAx，A为实对称矩阵
• 标准形：正交变换化为λ₁y₁²+λ₂y₂²+...+λₙyₙ²
• 规范形：惯性定理——正负惯性指数唯一
• 正定矩阵：所有特征值>0⇔各阶顺序主子式>0

常见题型

1. 二次型的矩阵表示
2. 正交变换化标准形
3. 正定性的判定
4. 惯性指数的计算

附录：数二与数一/数三的区别

数二不考的内容：

• 空间解析几何与向量代数
• 三重积分
• 曲线曲面积分
• 无穷级数
• 概率论与数理统计（全部）

数二独有特点：

• 高等数学占比最大（约78%），考查深度更深
• 线性代数只占约22%
• 不考概率论
• 对一元函数微积分的计算能力要求极高

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